Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных

Очередная осень

20:32 

[philosophical.pictures]
Art for Mind

11:03 

Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля

Доброго времени суток!

Я пытаюсь изучать аксиоматическую теорию множеств. Решил начать с ZF как наиболее популярной. Вопросов значительно больше, чем ответов. Да и вопросы сформулировать, увы, здесь не всегда просто. Просто сплошная непонятность! Попытаюсь наиболее ясно сформулировать непонятные мне моменты.

I) В любой аксиоматической теории вводятся неопределяемые объекты и отношения между ними. Например, в евклидовой геометрии такими неопределяемыми объектами являются "точка", "прямая", "плоскость", "движение", а неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "инцидентность" и тернарное отношение "лежит между" (согласно немного видоизмененной аксиоматике Гильберта, приведенной в книге Костина "Основания геометрии" () . В теории Пеано натуральных чисел неопределяемым объектом является "натуральное число", а неопределяемым отношением - бинарное отношение "следовать за". В связи с этим возникает вопрос. Какие неопределяемые понятия и отношения используются в аксиоматике ZF? С моей точки зрения, неопределяемыми понятиями должны быть "множества", "элементы", неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "принадлежит" (∈ (), "равно" (=). Но если я прав (хотя, не похоже), почему тогда во всех аксиомах ZF используются только малые латинские буквы? Иначе говоря, почему на уровне букв не делается различия между "множествами" и "элементами"? В книге Н. И. Казимирова "Введение в аксиоматическую теорию множеств" на стр. 4 в первом абзаце утверждается: " В теории множеств (как в наивной, так и в формальной) мы любой объект считаем множеством, т. к., во-первых, это ничуть не мешает нам моделировать при помощи теории множеств реальные объекты, а во-вторых, это упрощает построение самой теории". Т. е. нет понятия "элемент" в аксиоматике ZF? Выходит, что элементами любого множества в ZF являются элементы, сами являющиеся множествами. Но тогда получается, например, следующее. Возьмем, к примеру, множество A, состоящее из числа 1: A={1}. Верным будет утверждение 1 ∈ A. Но 1 - само множество! Что ему тогда принадлежит? 1? Т. е. 1 ∈ 1? Так что ли поступают в аксиоматической теории множеств? (Напомню, что во многих учебниках по наивной теории множеств запись 1 ∈ 1 признается не имеющей смысла; верно лишь, что 1 {1}). Я заранее прошу прощения за большую выдержку из упомянутой книги Казимирова, но вот что он сам пишет по поводу такого странного положения дел:

"С самого начала мы предположили, что все множества, какие мы рассматриваем в наивной (канторовской) теории множеств представляют из себя произвольные наборы множеств, никаких других ограничений на понятие множества мы не накладывали. Покажем, что такое достаточно произвольное определение множества не может быть корректным с точки зрения логики, ибо приводит к противоречию. Следующий парадокс, который мы получим здесь, называется парадоксом Расселла.
Поскольку атомарная формула х у, выражающая принадлежность множества х к множеству у, имеет смысл для любых множеств х и у, ничто не мешает нам рассмотреть такой ее вид: х х. С точки зрения здравого смысла формула х х должна быть ложной для любого множества х, ибо мы считаем, что часть некоего объекта (в данном случае множества) не может совпадать с самим этим объектом. Поэтому мы вводим следующее определение: множество х такое, что х x, называется регулярным, а множество х, для которого хх, назовем сингулярным.
Снова нам ничто не мешает собрать все регулярные множества в одно множество R, точнее, R={x|x x}. Попытаемся теперь ответить на следующий вопрос: регулярно или сингулярно множество R?
Предположим, что множество R регулярно, т.е. R R. Но тогда R удовлетворяет тому свойству, которым оно само определено, значит, R R. Противоречие. Предположим тогда, что R сингулярно, т. е. R R. Но тогда R не удовлетворяет тому свойству, которым определены его элементы, следовательно, R R. Противоречие.
Итак, множество R не регулярно и не сингулярно, чего быть не может, если мы принимаем закон исключенного третьего (либо А, либо не А). Так может быть, R — не множество?
Полученный парадокс, как может показаться, доказывает несостоятельность самой идеи множества, как высшей точки абстракции в математических науках. На самом же деле весь тот путь, который мы прошли при построении множеств и при рассмотрении парадокса Расселла, уже дает предпосылки к решению этого парадокса. Мы с самого начала считали, что множество есть произвольная совокупность (множеств), что привело к построению парадоксального множества R. Насколько велико это множество, мы также не знаем, ибо мы предположили существование сингулярных множеств. С другой стороны, если предположить, что все множества регулярны, то R будет просто множеством всех множеств. Конечно, это не избавляет нас от противоречия, но зато дает повод попытаться исключить из рассмотрения сингулярные множества, а также «слишком
большие» совокупности множеств путем навязывания множествам некоторых условий или, как принято говорить, аксиом".

Но в нашем случае речь идет не о "больших множествах", а всего лишь о множестве, состоящем из одного элемента. И, по определению Казимирова, оно сингулярно! Итак, есть ли в теории ZF различие между "множествами" и "элементами"? Что-то уже много написал... Если кто-то поможет ответить, буду искренне признателен. Остальные вопросы в ходе дискуссии. Спасибо!




@темы: Математическая логика

21:37 

[philosophical.pictures]
Art for Mind

12:01 

Много треугольников

wpoms.
Step by step ...


Через точку `A` на плоскости проходят 3 прямые, которые разбивают плоскость на 6 областей.
Внутри каждой области выбраны 5 точек. Известно, что никакие три из выбранных 30 точек не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 1000 треугольников с вершинами в выбранных точках таких, что точка `A` находится внутри или на границе треугольников.



@темы: Планиметрия

11:45 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

11:33 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

11:06 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

11:03 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

10:51 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

10:45 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

10:43 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

10:36 

lock Доступ к записи ограничен

~Jack Sparrow~
Действительно пугающая вещь — это человеческое сердце (с)
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

09:13 

Odi@
Переболеть тобой без рецидива , я постараюсь...нафиг "неотложка"? …Переживу повтор любви игриво…Реинкорнаций девять – я же кошка...
Уважаемые пользователи, помогите! Несколько лет назад где-то увидела стихотворение, помню, что там было что-то про дождь, про плед, и была там строчка что-то типа "и на изломах папиллярных ( или капиллярных) линий"... Если кто-то встречал это стихттворение, помогите! Поиск результатов не дал ни каких((

@темы: Стихи, Поиск

01:27 

Eileen Raa
Нежность воды надежней всего, что я знаю, но инженеры моего тела велели мне ходить по земле.
Говорят, в Тихий город дорога, как сон, быстра,
Но пройти её с честью не всем суждено до края.
Этот путь выбрал Вас зимним вечером, мистер А -
И земное кино между кадрами замирает.

Черный плащ да волшебная палочка - первый шаг
По заснеженным улицам Лондона в тусклом свете.
В Тихом городе после заката легко дышать -
Говорят, там свободой и верностью пахнет ветер.

Тихий Город встречает безмолвием Вашу тень,
Разноцветное солнце сияет в холодном небе.
Здесь с начала веков нет преград: ни замков, ни стен,
А молчание — читать дальше

Татьяна Жучкова

@темы: Стихи

23:47 

Danny Ocean
В одном мгновенье видеть Вечность, Огромный мир - в зерне песка, В единой горсти - бесконечность, И небо - в чашечке цветка.

23:24 

Пой мне Еще
Ты весь задор,хаос,рок-н-ролл моей жизни
сколько неотвеченных сообщений назад
мы последний раз по-настоящему говорили?
мне хотелось о многом тебе рассказать,
если б ты спрашивал иногда.
как кругом все твердят, что время
однажды вылечит и спасет,
но чем больше оно идет, тем больней.
как в моих неотправленных сотни писем
тебе
ежедневных, глупых, простых
в них мы с тобой обо всем говорим
только в них.
как до сих пор мне кажется, что ты здесь
обнимаешь ночами, держишь за руку в тишине.
как я вижу похожих прохожих в толпе,
но это всегда не ты.
как постоянно отчаянно хочется позвонить,
но руки тянутся на отбой.
как потом я ищу твой дом
и просто стою
у подъезда.
как я набралась бы смелости вовремя рассказать
о всех своих чувствах, о том, как не хочется отпускать
и как в каждой влюбленной паре теперь
я вижу только вас
больше эта история не про нас.

если б тебе обо всем я могла рассказать
может ты б захотел остаться /
Мария Хмель

@темы: Стихи

главная